方法一：利用特征函数证明

证明：

设 $X \sim N_p(\mu, \Sigma)$，其中： $\mu = \begin{bmatrix} \mu^{(1)} \\ \mu^{(2)} \end{bmatrix}, \quad \Sigma = \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix}$

$X$ 的特征函数为： $\varphi_X(t) = E[e^{it'X}] = \exp\left(it'\mu - \frac{1}{2}t'\Sigma t\right)$

其中 $t = \begin{bmatrix} t^{(1)} \\ t^{(2)} \end{bmatrix}$，$t^{(1)}$ 是 $r$ 维向量，$t^{(2)}$ 是 $(p-r)$ 维向量。

将 $t'\mu$ 和 $t'\Sigma t$ 展开：

第一步：展开 $t'\mu$

$t'\mu = \begin{bmatrix} t^{(1)'} & t^{(2)'} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mu^{(1)} \\ \mu^{(2)} \end{bmatrix} = t^{(1)'}\mu^{(1)} + t^{(2)'}\mu^{(2)}$

第二步：展开 $t'\Sigma t$

第三步：利用 $\Sigma_{12} = 0$ 的条件

若 $\Sigma_{12} = 0$，则 $\Sigma_{21} = \Sigma_{12}' = 0$，因此： $t'\Sigma t = t^{(1)'}\Sigma_{11}t^{(1)} + t^{(2)'}\Sigma_{22}t^{(2)}$

第四步：代入特征函数

第五步：识别边缘特征函数

注意到：

• $\exp\left(it^{(1)'}\mu^{(1)} - \frac{1}{2}t^{(1)'}\Sigma_{11}t^{(1)}\right)$ 是 $X^{(1)} \sim N_r(\mu^{(1)}, \Sigma_{11})$ 的特征函数
• $\exp\left(it^{(2)'}\mu^{(2)} - \frac{1}{2}t^{(2)'}\Sigma_{22}t^{(2)}\right)$ 是 $X^{(2)} \sim N_{p-r}(\mu^{(2)}, \Sigma_{22})$ 的特征函数

因此： $\varphi_X(t) = \varphi_{X^{(1)}}(t^{(1)}) \cdot \varphi_{X^{(2)}}(t^{(2)})$

第六步：由特征函数的性质得出独立性

特征函数的乘积性质表明：若联合特征函数等于边缘特征函数的乘积，则随机向量相互独立。

因此，$X^{(1)}$ 与 $X^{(2)}$ 相互独立。

方法二：利用密度函数证明（非退化情况）

证明：

假设 $\Sigma > 0$（非退化情况），则 $X$ 的联合密度函数为： $f_X(x) = \frac{1}{(2\pi)^{p/2}\lvert \Sigma \rvert^{1/2}} \exp\left[-\frac{1}{2}(x - \mu)'\Sigma^{-1}(x - \mu)\right]$

其中 $x = \begin{bmatrix} x^{(1)} \\ x^{(2)} \end{bmatrix}$。

第一步：计算 $\lvert \Sigma \rvert$

当 $\Sigma_{12} = 0$ 时： $\Sigma = \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & 0 \\ 0 & \Sigma_{22} \end{bmatrix}$

分块对角矩阵的行列式等于各块行列式的乘积： $\lvert \Sigma \rvert = \lvert \Sigma_{11} \rvert \cdot \lvert \Sigma_{22} \rvert$

第二步：计算 $\Sigma^{-1}$

分块对角矩阵的逆矩阵为： $\Sigma^{-1} = \begin{bmatrix} \Sigma_{11}^{-1} & 0 \\ 0 & \Sigma_{22}^{-1} \end{bmatrix}$

第三步：展开二次型 $(x - \mu)'\Sigma^{-1}(x - \mu)$

第四步：代入密度函数

第五步：由密度函数的乘积性质得出独立性

联合密度函数等于边缘密度函数的乘积，因此 $X^{(1)}$ 与 $X^{(2)}$ 相互独立。