1. 三类收敛方式

2. 基本强弱关系

在实变函数的 Lebesgue 可测函数语境下，有以下基本关系：

如果 $m(E)<\infty$，则

因此在有限测度的可测集 $E$ 上，有链式关系：

需要注意：

• 依测度收敛一般不能推出 a.e. 收敛。
• a.e. 收敛一般不能推出一致收敛。
• 点态收敛一般不能推出一致收敛。
• 当 $m(E)=\infty$ 时，a.e. 收敛也不一定推出依测度收敛。

点态收敛不能推出一致收敛的经典反例：

取 $E=[0,1]$，令

则对每个 $x\in[0,1)$，有 $x^n\to0$，而 $f_n(1)=1$。因此 $f_n$ 点态收敛到

但这个收敛不是一致收敛。事实上，对任意 $n$，有

因为当 $x\in[0,1)$ 且 $x$ 充分接近 $1$ 时，$x^n$ 可以任意接近 $1$。所以

3. Egoroff 定理：a.e. 收敛与近似一致收敛

Egoroff 定理：

设 $m(E)<\infty$。若 $f_n\to f$ a.e. 于 $E$，则对任意 $\delta>0$，存在可测集 $A\subset E$，使得

并且 $f_n$ 在 $A$ 上一致收敛于 $f$。

也就是说，在有限测度的可测集上：

这种结论常称为近似一致收敛。它不是说 a.e. 收敛可以直接推出全空间上一致收敛，而是说可以牺牲一个任意小测度的坏集，使剩下的集合上收敛变成一致收敛。

4. Riesz 定理：依测度收敛与 a.e. 收敛子列

Riesz 定理：

若 $f_n\to f$ 依测度收敛，则存在子列 $\{f_{n_k}\}$，使得

因此：

这个定理说明依测度收敛虽然一般弱于 a.e. 收敛，但它仍然保留了某种“子列意义下的几乎处处收敛”。

结合 $m(E)<\infty$ 时的结论：

5. Lebesgue 控制收敛定理：a.e. 收敛与积分收敛

Lebesgue 控制收敛定理：

设 $f_n\to f$ a.e. 于 $E$，且存在 Lebesgue 可积函数 $g\in L^1(E)$，使得

则 $f\in L^1(E)$，并且

特别地，

这个定理本身不是三种收敛方式之间的直接蕴含，而是说明：

其中 $L^1$ 收敛推出依测度收敛可由 Chebyshev 不等式得到：

因此，Lebesgue 控制收敛定理给出了一条带条件的增强路径：

6. Lusin 定理：可测函数与连续函数的近似

Lusin 定理：

设 $E\subset\mathbb R^d$ 可测且 $m(E)<\infty$，$f$ 是 $E$ 上几乎处处有限的 Lebesgue 可测函数。则对任意 $\delta>0$，存在闭集 $F\subset E$，使得

并且 $f|_F$ 连续。

Lusin 定理主要说明：

它与 Egoroff 定理的思想相似：二者都体现了“可测对象在去掉小测度坏集后会变得更规整”。

• Egoroff 定理：a.e. 收敛在大集合上变成一致收敛。
• Lusin 定理：可测函数在大集合上变成连续函数。

因此，Lusin 定理不直接给出三种收敛方式之间的蕴含，但它帮助理解可测函数的核心思想：可测性是一种“几乎连续”的性质。

7. 总体关系图的文字版

8. drawio 图像

Egoroff 定理说明 a.e. 收敛可以在去掉小测度坏集后升级为一致收敛；Riesz 定理说明依测度收敛至少可以抽出 a.e. 收敛子列；Lebesgue 控制收敛定理说明在可积控制下 a.e. 收敛可以进一步推出 $L^1$ 收敛，从而推出依测度收敛；Lusin 定理则从函数结构角度说明可测函数在大集合上近似连续。